Le premier volume des Éléments de mathématiques pour le XXIe siècle est essentiellement consacré à la notion de logique mathématique. Sont en particulier étudiés les sujets suivants :
- la logique des propositions ;
- le calcul booléen (algèbre de Boole) ;
- la logique des prédicats ;
- des systèmes formels utilisés dans la théorie de la démonstration (sont notamment détaillés un système déductif à la Hilbert et la déduction naturelle) ;
- quelques exemples d’autres logiques formelles (logique intuitionniste …).
On trouve aussi divers sujets un peu moins liés aux mathématiques formelles :
- des éléments de logique traditionnelle (syllogismes et diagrammes logiques) ;
- des exemples de paralogismes classiques.
Enfin, la présentation de la logique des prédicats est aussi l’occasion d’aborder d’autres notions :
- une première approche de quelques structures algébriques de base (groupes, anneaux, …) ;
- la théorie axiomatique de l’arithmétique de Peano, qui formalise les propriétés des nombres entiers et des opérations associées (addition, multiplication).